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Superposição

Com o princípio da superposição, é possível simplificar a análise de circuitos com várias entradas. Escrito por Willy McAllister.

Superposição é uma técnica extremamente útil para adicionar ao seu leque de opções de métodos de análise de circuito. Ele é particularmente apropriado quando você tem um circuito com múltiplas entradas ou várias fontes de energia.

O que estamos construindo

O princípio da superposição é um outro nome para a propriedade de aditividade da Linearidade:

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

Para resolver um circuito usando a superposição, o primeiro passo é desativar ou suprimir todas as entradas menos uma.

Para suprimir uma fonte de tensão, substitua-a por um curto circuito.
Para suprimir uma fonte de corrente, substitua-a por um circuito aberto.

Por fim, você analisa os circuitos resultantes mais simples. Repita para todas as entradas.

O resultado final é a soma dos resultados individuais.

Descrevendo um circuito como uma função

O princípio da superposição é definido usando a notação funcional, então falamos um pouco aqui como circuitos podem ser representados como funções.

Começando pelo simples... Como podemos representar um único resistor usando a notação de uma função matemática? Não há nada de extraordinário sobre isso, só estou falando sobre a Lei de Ohm usando a terminologia de função. Começamos por identificar três coisas: as entradas, o elemento executando a função e as saídas.

Eu decidi (arbitrariamente) que a tensão

v_{i}

será a entrada para nossa função resistor. Podemos assumir que a entrada

v_{i}

é gerada por algo que seja um gerador de tensão que não estamos mostrando. Atribuímos à saída como o elemento de interesse, que queremos saber. Para esta função, a saída é a corrente

i

no resistor.

A tensão de entrada é aplicada aos dois círculos pequenos (os círculos indicam a porta de entrada para nossa função). A função em si vem do resistor, por meio da Lei de Ohm. A saída da nossa função será a corrente,

i

, medida por um medidor de corrente não mostrado.

Escrito como uma função, nosso resistor é

i = f (v_{i}) = \frac{1}{R} v_{i}

Com esta notação, estamos exibindo o resistor como uma função que recebe uma tensão e gera uma corrente de saída.

Um resistor é uma função linear

Olhando para a função do resistor, vemos que ela possui a propriedade de escalonamento, a saída,

i

, é igual a entrada,

v

, escalonada por uma constante,

R

. Isso significa que o resistor é linear. A propriedade de linearidade é o que desencadeia a nossa capacidade de usar a superposição para ajudar a resolver um circuito.

(Me atualize sobre o significado de linearidade.)

Usando a superposição para ajudar a resolver um circuito

(Este é um exemplo de "brinquedo" para dar-lhe uma ideia do uso da superposição).

Digamos que a entrada para a nossa função são duas tensões em série:

A entrada para a nossa função são duas baterias em série:

v_{i} = Vs1 + Vs2

A função é

f (v) = \frac{1}{R} v

A saída da função não mudou; ainda é

i =

f(v).

Agora resolvemos este circuito de duas maneiras: primeiro, pela análise convencional e, em seguida, usando o princípio da superposição.

Solução convencional

Para resolver por meios convencionais, podemos escrever a equação LKT em torno da malha:

Vs1 + Vs2 - i R = 0

e resolvemos para

i

i = f (Vs1 + Vs2) = \frac{Vs1 + Vs2}{R}

(solução convencional)

Solução usando o princípio da superposição

O princípio da superposição aplica-se a uma função linear,

f

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

Dizem que: Se você tiver duas entradas sobrepostas,

(x_{1} + x_{2})

, você pode aplicar as entradas uma de cada vez,

(x_{1})

seguida por

(x_{2})

, e então adicionar os resultados individuais para obter a resposta completa.

Agora vamos usar o princípio da superposição para resolver o circuito. Visto que já modelamos nosso circuito como uma função, podemos escrever:

i = f (Vs1 + Vs2)

é o mesmo que

i = f (Vs1) + f (Vs2)

Isto nos sugere uma possibilidade intrigante, que podemos calcular a corrente de saída do modo convencional, ao aplicar as entradas combinadas

f (Vs1 + Vs2)

, ou poderíamos obter a mesma resposta computando a função com entradas simples,

f (Vs1)

f (Vs2)

, e somando os resultados ao final. Vamos tentar e ver o que acontece.

Suprimindo entradas

Para aplicar a superposição, precisamos aplicar as entradas uma de cada vez. Isso significa que temos que desativar todas as entradas, exceto uma. Quando desativamos uma entrada, dizemos que ela é suprimida.

O que significa desativar uma fonte de tensão? Significa que podemos definir

V = 0

. Isto é o mesmo que substituir a fonte de tensão ou a bateria por um curto-circuito.

O que significa desativar uma fonte de corrente? Isso significa que podemos definir

I = 0

. Isso é o mesmo que substituir a fonte de corrente por um circuito aberto.

Usando superposição

Nos dois esquemas seguintes, uma das entradas de tensão foi desligada (suprimida) ao substitui-la por um curto-circuito.

Quando zeramos ou suprimimos uma entrada, substituímos uma das entradas por

0

, permitindo que a entrada remanescente se destaque.

f (Vs1 + 0) \to f (Vs1)

f (0 + Vs2) \to f (Vs2)

Agora, resolvemos cada circuito individualmente,

i_{1} = \frac{Vs1}{R} i_{2} = \frac{Vs2}{R}

onde

i_{1}

é a corrente causada pela fonte

Vs 1

i_{2}

é a corrente causada pela fonte

Vs 2

A corrente total vêm da sobreposição (adição) das correntes de cada circuito.

i = i_{1} + i_{2}

i = \frac{Vs1}{R} + \frac{Vs2}{R}

i = \frac{Vs1 + Vs2}{R}

(solução da superposição)

Veja só! A solução da superposição é a mesma que a solução convencional obtida acima.

O que fizemos aqui é chamado de superposição linear de dois circuitos.

Nossa função de exemplo era muito simples, usar superposição realmente não economiza muito (sequer algum) esforço. Nos exemplos a seguir, os circuitos são mais complicados e a diferença no esforço se torna mais aparente.

Exemplo 1

Considere o seguinte circuito linear com duas fontes: uma fonte de corrente e uma fonte de tensão. As duas fontes são as entradas para a função. Para este problema, por acaso queremos encontrar duas saídas, as correntes

i_{1}

i_{2}

i_{1} = f_{1} (Is, Vs)

and

i_{2} = f_{2} (Is, Vs)

Vamos analisar este circuito usando a superposição.

Primeiro, podemos suprimir a fonte de corrente e analisar o circuito com apenas a fonte de tensão agindo sozinha. Para suprimir a fonte de corrente, podemos substituí-la por um circuito aberto.

Com apenas a fonte de tensão, as duas correntes de saída são:

i_{1 V} = 0 i_{2 V} = \frac{Vs}{R 2}

Onde

i_{1 V}

i_{2 V}

são as correntes em

R 1

R 2

causadas pela fonte de tensão.

Em seguida, restauramos a fonte de corrente e suprimimos a fonte de tensão, para calcular a contribuição da fonte de corrente ao agir individualmente.

Com apenas a fonte de corrente, as duas correntes da saída são:

i_{1 I} = Is i_{2 I} = 0

Onde

i_{1 I}

i_{2 I}

são as correntes em

R 1

R 2

causadas pela fonte de corrente.

Completamos a análise ao adicionar as contribuições de cada fonte:

i_{1} = i_{1 V} + i_{1 I} = 0 + Is = Is

i_{2} = i_{2 V} + i_{2 I} = \frac{Vs}{R 2} + 0 = \frac{Vs}{R 2}

A solução completa fica assim:

Isto poderia ter sido uma análise complicada, pois as duas fontes tornam mais difícil de se escrever as equações dos nó ou laços. Exploramos a superposição, que nos forneceu dois circuitos mais simples para resolver.

Exemplo 2

Solução convencional

Para o seguinte circuito linear vamos calcular a tensão de saída

v

Faremos o caminho convencional primeiro. Escrevemos Lei de Kirchhoff da Corrente no nó de saída

v

\begin{array}{ccc} + i_{R 1} & - i_{R 2} & + Is & = 0 \\ + \frac{Vs - v}{R1} & - \frac{v}{R2} & + Is & = 0 \end{array}

Podemos reorganizar isto para obter uma expressão para

v

e reunir os termos semelhantes do lado direito:

v = \frac{R2}{R 1 + R 2} Vs + \frac{R 1 R 2}{R 1 + R 2} Is

(solução convencional)

Solução usando superposição

Agora, resolveremos o mesmo problema utilizando o princípio da superposição. Assim como antes, podemos suprimir as fontes de entrada e resolver novos circuitos mais simples.

Como você suprimiria a fonte de corrente?

Substitua a fonte de corrente por um ___.

O circuito se resume em dois resistores em série (um divisor de tensão).

Tensão

v_{V s}

é a contribuição da fonte de tensão

Vs

Com apenas a fonte de tensão, a tensão de saída é:

v_{V s} = Vs \frac{R 2}{R 1 + R 2}

Agora, restauramos a fonte de corrente e suprimimos a fonte de tensão.

Como você suprimiria a fonte de tensão?

Substitua-a por um ___.

O circuito simplifica-se a dois resistores em paralelo.

Tensão

v_{V s}

é a contribuição para a saída da fonte de corrente

Is

v_{I s} = Is \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

Completamos a análise de superposição adicionando as contribuições das duas tensões. Como previsto, podemos obter o mesmo resultado que a solução convencional mostrada acima.

v = v_{V s} + v_{I s}

v = \frac{R2}{R 1 + R 2} Vs + \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2} Is

(solução da superposição)

Não há nenhuma aproximação envolvida. As soluções são exatamente as mesmas. O mais importante a notar é que os dois circuitos mais simples dão significativamente menos trabalho para analisar.

Linearidade e superposição são ferramentas úteis

Se você tem um circuito de elementos lineares, então pode usar o princípio da superposição. Isto significa que o complicado circuito original se trata na verdade de circuitos mais simples que por acaso estão sobrepostos. Parece mágica, mas esta propriedade significa que entradas sobrepostas e circuitos sobrepostos não afetam um ao outro ou se entrelaçam no final das contas. Cada circuito simples desconhece a existência dos outros, até que você faça a adição final.

Esta é uma propriedade maravilhosa de circuitos lineares e é uma das razões pela qual gostamos tanto de linearidade. Circuitos que não são lineares (circuitos não-lineares) não possuem esta propriedade e a superposição não pode ser aplicada. (Mas não se preocupe, gostamos de circuitos não-lineares também, mas de uma forma diferente).

Resumo

Se um circuito é feito de elementos lineares, podemos usar a sobreposição para simplificar a análise. Isto é especialmente útil para circuitos com múltiplas fontes de entrada.

Para analisar um circuito linear com múltiplas entradas, você precisa suprimir todas menos uma entrada ou fonte e analisar o circuito resultante mais simples. Repita isso para todas as entradas e fontes. Em seguida, adicione os resultados para encontrar a resposta total para o circuito completo.

Suprimindo fontes

Para suprimir uma fonte de tensão, substitua-a por um curto-circuito:

Para suprimir uma fonte de corrente, substitua-a por um circuito aberto:

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ritabralves
Publicado há há 2 meses. Link direto para a postagem “Ainda não entendi o porqu...” de ritabralves
Ainda não entendi o porquê da corrente em R2 ser 0 no circuito exemplo 1. Blz, pode até estar em curto-circuito porque não tem tensão através dele (exatamente essa parte que não entendi, pq não há tensão para ele e tem para R1?)
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Engenharia elétrica

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Exemplo 1

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